二次函數(shù)與圓的綜合題型
例題、如圖，二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像交x軸于A（-1，0），B（2，0），交y軸于C（0，-2），過(guò)A，C畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖 像上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H．
①若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若⊙M的半徑為4/5√5（5分之4又根號(hào)5） ，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解析、分析】
（1）根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣2），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)OP=x，然后表示出PC、PA的長(zhǎng)度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分：
（i）點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí)，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，是﹣2，代入拋物線解析式計(jì)算即可；
（ii）點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論，點(diǎn)M為直線PC與拋物線的另一交點(diǎn)，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在x軸上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，可以證明△AED和△AOC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長(zhǎng)度，然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【參考答案】
【考點(diǎn)】?jī)梢淮魏瘮?shù)圖像相交或平行問(wèn)題，勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
定角必有隱圓例題
例、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y=x+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】【分析】
方法一：（1）當(dāng)k=1時(shí)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可知，此時(shí)∠OQC=90°且點(diǎn)Q為唯一．以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點(diǎn)是考慮直線AB是否與拋物線交于C點(diǎn)，此時(shí)亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．
方法二：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)．（2）利用面積公式求出P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）列出定點(diǎn)O坐標(biāo)，用參數(shù)表示C，Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用黃金法則二求出k的值．
【答案】
【考點(diǎn)】勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。