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考研數(shù)學(xué)大綱里的了解篇一

x2y2z25．求橢球體2?2?2?1的體積。

abc6．若l為右半單位圓周，求|y|ds。

l?7．計(jì)算含參變量積分i(a)???0 ln(1?2acosx?a2)dx(a?1)的值。

8.若積分在參數(shù)的已知值的某鄰域內(nèi)一致收斂，則稱此積分對參數(shù)的已知值一致收斂。試討論積分

i??1??0adx

1?a2x2 在每一個(gè)固定的a處的一致收斂性。

9.討論函數(shù)f(y)??0 yf(x)dx的連續(xù)性，其中f(x)在[0,1]上是正的連續(xù)函數(shù)。

x2?y222210．求球面x?y?z?50與錐面x?y?z所截出的曲線的點(diǎn)(3, 4, 5)處的切線與法平面方程。

2211．求平面z?0，圓柱面x?y?2x，錐面z?222x2?y2所圍成的曲頂柱體的體積。

12．計(jì)算三重積分

i????(x?y?z)dxdydz。其中 v:0?x?1, 0?y?1,0?z?1。

v13.利用含參變量積分的方法計(jì)算下列積分

?14.計(jì)算333m???? e?x2dx。

??xdydz?ydzdx?zdxdy, 其中m為上半橢球面

x2y2z2?2?2?1,z?0(a,b,c?0), 2abc定向取上側(cè).15．求i?(x?y)ds，此處l為聯(lián)結(jié)三點(diǎn)o(0,0), a(1,0), b(1,1)的直線段。

l?

16．計(jì)算二重積分

i???(x2?y2)dxdy。

?其中 ?是以y?x,y?x?a,y?a和y?3a(a?0)為邊的平行四邊形。

17．計(jì)算三重積分

i????vx2y2z2(2?2?2)dxdydz。abcx2y2z2其中v是橢球體2?2?2?1。

abc18．計(jì)算含參變量積分???0e?ax?e?bx dx(b?a?0)的值。

xx?2u?2u19.已 知u?arccos，試確定二階偏導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系。

y?x?y?y?x20.討論積分????xcosxdx的斂散性。pqx?xx?y2.求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).極限limf(x,y)是否 21． f(x,y)?x?0y?0y?0x?0x?0x?yy?0存在 ? 為什么 ？

xy?22 , x?y?0 ,?2222.f(x,y)??x?y 驗(yàn)證函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)處連續(xù) ,偏?22 0 , x?y?0.?導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微

?2z?2z23.設(shè)函數(shù)f(u,v)可微 , z?f(x , xy).求 2 和 2

?y?x , 1 , 2)的方向..24.f(x,y,z)?x?xy?yz, l為從點(diǎn)p0(2 , ?1 , 2)到點(diǎn)p1(?1求fl(p0).25.設(shè)?為單位球面x222?y2?z2?1，證明：

1??f(ax?by?cz)d??2??f(a2?b2?c2t)dt.?126． 求 ??xydxdy, 其中 d: y?d1x , y?2x , xy?1 , xy?3.2x8?x2 dx.27.求積分i?? lnx028.求 ?ye??dxdy，其中d是以點(diǎn)(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)為頂點(diǎn)的三角形域.d2129.計(jì)算積分(2x?sinl??y2)dx??x2cos?y2dy.其中l(wèi)為沿曲線y?ex?1從

點(diǎn)(0 , 0)到點(diǎn)(ln2 , 1)的路徑.30.v :x?y?2x , x?y?z?2(x?y).?為v的表面外側(cè).計(jì)算積分 3223(x?y?z)dydz?(x?y?cosz)dzdx?(x?y????22222232z)dxdy.231.已知 f(x,y)?y.證明極限limf(x,y)不存在.2x?0x?yy?032． 設(shè)函數(shù)u(x,y)和v(x,y)可微.證明 grad(uv)?u gradv?v gradu.33.設(shè)函數(shù)f在有界閉區(qū)域d上連續(xù).試證明: 若在d內(nèi)任一子區(qū)域d??d上都有

??f(x,y)dxdy?0, 則在d上f(x,y)?0.d?34.求極限

(x,y)?(0,0)limsin(x2?y2)1?x?y?122.1?222(x?2y)sin , x?y?0 ,?22x?y35.f(x,y)??

?0 , x2?y2?0.?求fx(0 , 0)和fy(0 , 0).36.設(shè)函數(shù)f(u,v)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) , z?f(xy , x?y).求

22?z?z、?x?y?2z和.?x?y37.f(x,y,z)?x?y?z , 點(diǎn)p0(1 , 1 , 1), 方向l:(2 , ?2 , 1).求

23gradf(p0)和f沿l的方向?qū)?shù)fl(p0).39.曲線l由方程組

222?? 2x?3y?z?9 , ?2 22?? z?3x?y 確定.求曲線l上點(diǎn)p0(1 , ?1 , 2)處的切線和法平面方程 40.求函數(shù)f(x,y)?xy在約束條件滿足極值充分條件)

11??1之下的條件極值.(無須驗(yàn)證駐點(diǎn) xyx2y41.f(x,y)?4.試證明在點(diǎn)(0 , 0)處f(x,y)的兩個(gè)累次極限均存在 , 但

x?? , x2?y2?0 ,?22 42． f(x,y)??x?y 證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)處連續(xù),偏導(dǎo)?22? 0 , x?y?0.數(shù)存在 , 但卻不可微 43． 設(shè) z?lnx2?y2, 驗(yàn)證該函數(shù)滿足laplace方程

?2z?2z?0.2?2?x?y44.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)的某鄰域有定義 , 且滿足條件|f(x,y)| ? x?y.試證明 f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)可微。

22?2fx?f?f45.設(shè)f(x,y)?xy?，求，；

?x?yy?x?y46.設(shè)z?sin(xcosy)，求全微分dz；

x?2y?z?2xyz?0所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)47.求由方程

?z，?x?z。?y48.求函數(shù) z?xe2y在點(diǎn)p(1,1)處從p(1,1)到q(2,?1)方向的方向?qū)?shù)。49.求2y??dxdy, d由旋輪線 d?x?a(t?sint), 0?t?2? 與y?0圍成； ??y?a(1?cost)，50.求???0e?xdx

limx2?y2x2?y2?1?1251.求二重極限 x?0y?0.?2zz52.z?z(x,y)由z?e?xy確定，求?x?y.?z?z1?y??y3.53．設(shè)z?ln(x?y)，證明：?x1313xyf(x?y,)?x2?y2x54.設(shè)，則

f(x,y)?_____________.15?()???()55.已2知，則2＝___________.2256.設(shè)函數(shù)f(x,y)?2x?ax?xy?2y在點(diǎn)(1,?1)取得極值，則常數(shù) a?________

57.已知f(x,y)?x?y(x?4?arctany)2?,則fx(1,0)?________.?2z?2zt22??0z?2cos(x?)?x?t2,證明:?t58．設(shè)

33f(x,y)?x?12xy?8y59．求函數(shù)的極值

?z?z,z60.求由e?xyz?xy所確定的隱函數(shù)z?z(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)?x?y.

考研數(shù)學(xué)大綱里的了解篇二

2012西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研大綱

一、考試總體要求與考試要點(diǎn) 1．考試對象

考試對象為具有全國碩士研究生入學(xué)考試資格并報(bào)考西安電子科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系碩士研究生的考生。

2．考試總體要求

測試考生對數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數(shù)學(xué)分析的基本理論、掌握數(shù)學(xué)分析的基本方法，具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。3．考試內(nèi)容和要點(diǎn)(一)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念；實(shí)數(shù)的性質(zhì)；絕對值不等式。

2、函數(shù)：函數(shù)的概念；函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)。

3、函數(shù)的幾何特性：單調(diào)性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握絕對值不等式的性質(zhì)，會(huì)求解絕對值不等式；掌握函數(shù)的概念和表示方法，會(huì)求函數(shù)的定義域和值域，會(huì)證明具體函數(shù)的幾何特性。(二)數(shù)列極限

1、數(shù)列極限的概念（??n定義）。

2、數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性；有界性；保號(hào)性。

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準(zhǔn)則；兩邊夾法則。

要求：理解和掌握數(shù)列極限的概念，會(huì)使用??n語言證明數(shù)列的極限；掌握數(shù)列極限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則以及數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界原理和兩邊夾法則)，并能運(yùn)用它們求數(shù)列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質(zhì)和運(yùn)算法則，會(huì)比較無窮小量與無窮大量的階。

(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念（???定義、??x定義）；單側(cè)極限的概念。

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性；局部有界性；局部保號(hào)性。

3、函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系。

4、兩個(gè)重要極限。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念，會(huì)使用???語言以及??x語言證明函數(shù)的極限；掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則，會(huì)使用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在；掌握兩個(gè)重要極限并能利用它們來求極限；了解單側(cè)極限的概念以及求法。(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義；區(qū)間連續(xù)的定義；單側(cè)連續(xù)的定義；間斷點(diǎn)的分類。

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的分類；能正確敘述并簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）實(shí)數(shù)系六大基本定理及應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)系六大基本定理：確界存在定理；單調(diào)有界定理；閉區(qū)間套定理；致密性定理；柯西收斂準(zhǔn)則；有限覆蓋定理。

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。

要求：理解和掌握上、下確界的定義，會(huì)求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明；能正確敘述實(shí)數(shù)系六大基本定理的內(nèi)容及其證明思想，會(huì)使用開覆蓋以及二分法構(gòu)造區(qū)間套進(jìn)行簡單證明。

（六）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義；單側(cè)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2、求導(dǎo)法則：初等函數(shù)的求導(dǎo)；反函數(shù)的求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)；參數(shù)方程的求導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)。

3、微分：微分的定義；微分的運(yùn)算法則；微分的應(yīng)用。

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求具體函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)和微分；理解和掌握可導(dǎo)與可微、可導(dǎo)與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系；掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法，了解導(dǎo)函數(shù)的介值定理。

（七）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2、泰勒公式。

要求：理解和掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開

（八）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值。

2、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)。

3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達(dá)法則。

要求：理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，會(huì)使用這些性質(zhì)求函數(shù)的極值點(diǎn)以及拐點(diǎn)；能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線等進(jìn)行作圖；能熟練地運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

（九）不定積分

1、不定積分概念。

2、換元積分法與分部積分法。

3、有理函數(shù)的積分。

要求：理解和掌握原函數(shù)和不定積分概念以及它們的關(guān)系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會(huì)求初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)的不定積分。

（十）定積分

1、定積分的概念；定積分的幾何意義。

2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達(dá)布上和與達(dá)布下和；可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))。

3、定積分的性質(zhì)：四則運(yùn)算；絕對值性質(zhì)；區(qū)間可加性；不等式性質(zhì)；積分中值定理。

4、定積分的計(jì)算：變上限積分函數(shù)；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。

要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數(shù)類；熟練掌握和運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉(zhuǎn)體的體積；求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

2、定積分的物理應(yīng)用：求質(zhì)心；求功；求液體壓力。

要求：理解和掌握“微元法”；掌握定積分的幾何應(yīng)用；了解定積分的物理應(yīng)用。

（十二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、預(yù)備知識(shí)：上、下極限；無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念；收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；柯西收斂原理。

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：比較判別法；達(dá)朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質(zhì)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法以及交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法；掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質(zhì)以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質(zhì)。

（十三）反常積分

1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。

2、無界函數(shù)的反常積分：無界函數(shù)的反常積分的概念；無界函數(shù)的反常積分的斂散性判別法。

要求：理解和掌握反常積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準(zhǔn)則，會(huì)判斷某些反常積分的斂散性。

（十四）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、一致收斂的概念。

2、一致收斂的性質(zhì)：連續(xù)性定理；可積性定理；可導(dǎo)性定理。

3、一致收斂的判別法；m-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質(zhì)及其證明；能夠熟練地運(yùn)用m-判別法判斷一些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。

（十五）冪級(jí)數(shù)

1、冪級(jí)數(shù)的概念以及冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。

2、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

3、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。

要求：理解和掌握冪級(jí)數(shù)的概念，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及兩種將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法，會(huì)把一些函數(shù)直接或者間接展開成冪級(jí)數(shù)。

（十六）傅里葉級(jí)數(shù)

1、傅里葉級(jí)數(shù)：三角函數(shù)系的正交性；傅里葉系數(shù)。

2、以2?為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。

3、以2l為周期的傅里葉級(jí)數(shù)。

4、收斂定理的證明。

5、傅里葉變換。

要求：理解和掌握三角函數(shù)系的正交性與傅里葉級(jí)數(shù)的概念；掌握傅里葉級(jí)數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質(zhì)。

（十七）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念。

2、二元函數(shù)的二重極限、二次極限。

3、二元函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關(guān)系，會(huì)計(jì)算一些簡單的二元函數(shù)的二重極限和二次極限；掌握平面點(diǎn)集、聚點(diǎn)的概念；了解平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理以及閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（十八）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；可微與可偏導(dǎo)、可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)以及隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

4、方向?qū)?shù)與梯度。

5、多元函數(shù)的泰勒公式。

6、極值和條件極值

要求：理解和掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度的概念及其計(jì)算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；會(huì)求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會(huì)求函數(shù)的極值、最值；了解多元泰勒公式。

（十九）隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)存在定理；反函數(shù)存在定理；雅克比行列式。

2、函數(shù)相關(guān)。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解函數(shù)行列式的性質(zhì)以及函數(shù)相關(guān)。

（二十）含參變量積分以及反常積分

1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導(dǎo)交換次序；兩個(gè)積分號(hào)交換次序。

2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、?函數(shù)、?函數(shù)。

要求：理解和掌握積分號(hào)下求導(dǎo)的方法；掌握?函數(shù)、?函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質(zhì)。

2、二重積分的計(jì)算：用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分；用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；用一般變換計(jì)算二重積分。

3、三重積分計(jì)算：用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分；用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分；用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。

4、重積分應(yīng)用：求物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。

要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點(diǎn)，會(huì)選擇最合適的方法進(jìn)行積分；掌握并合理運(yùn)用重積分的對稱性簡化計(jì)算；了解柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)積分元素的推導(dǎo)。

（二十二）曲線積分與曲面積分

1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；第一類曲線積分的對稱性。

2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；兩類曲線積分的聯(lián)系。

3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；第一類曲面積分的對稱性。

4、第二類曲面積分：曲面的側(cè)；第二類曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；兩類曲面積分的聯(lián)系。

5、格林公式：曲線積分與路徑的無關(guān)的四種等價(jià)敘述。

6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。

8、場論初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系；了解斯托克斯公式和場論初步。

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu) 1.考試時(shí)間 180分鐘。2．試卷分值 150分。3．考試方式 閉卷考試。4．題型結(jié)構(gòu)

類型包括：選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題。

三、推薦教材參考書目

【1】 歐陽光中等主編 《數(shù)學(xué)分析》（第三版）高等教育出版社 【2】 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編 《數(shù)學(xué)分析》（第三版）高等教育出版社 【3】 陳紀(jì)修等主編《數(shù)學(xué)分析》（第二版）高等教育出版社

考研數(shù)學(xué)大綱里的了解篇三

《數(shù)學(xué)分析》研究生考試大綱

適用專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論、系統(tǒng)理論

一、復(fù)習(xí)要求：

要求考生掌握數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本定理和基本方法，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論求解和證明相關(guān)命題。

二、主要復(fù)習(xí)內(nèi)容

本課程考核內(nèi)容包括實(shí)數(shù)理論和連續(xù)函數(shù)、一元微積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元微積分學(xué)：

1、實(shí)數(shù)理論和連續(xù)函數(shù)

（1）了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì).（2）掌握幾種不等式及應(yīng)用。

（3）熟練掌握鄰域，上確界，下確界的概念和確界原理。

（4）熟練掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

（5）熟練掌握數(shù)列極限的“ε-n”定義。

（6）掌握收斂數(shù)列的常用性質(zhì)。

（7）熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件（單調(diào)有界原理、迫斂性定理、柯西準(zhǔn)則等）。

（8）熟練掌握“ε-δ”等語言，且能用它敘述各類型的函數(shù)極限。

（9）掌握函數(shù)極限的常用性質(zhì)。

（10）熟練掌握函數(shù)極限存在的條件，（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界等）。

（11）熟練應(yīng)用兩個(gè)重要極限。

（12）掌握無窮小量、無窮大量的定義和性質(zhì)，熟悉等價(jià)無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質(zhì)。

（13）熟練掌握函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和等價(jià)定義。

（14）掌握間斷點(diǎn)及類型。

（15）熟練掌握區(qū)間上連續(xù)函數(shù)和一致連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（16）知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

2、一元微積分學(xué)

（1）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義，知道導(dǎo)數(shù)的物理意義。

（2）熟練掌握求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式。

（3）掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算。

（4）熟練掌握理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。

（5）熟練掌握微分中值定理及其應(yīng)用。

（6）熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限。

（7）熟練掌握單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法。并能證明相關(guān)命題。

（8）熟練掌握曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的求法，并掌握凸函數(shù)及性質(zhì)。

（9）會(huì)求曲線各種類型的漸近性。

（10）掌握區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點(diǎn)、予列的含義。

（11）掌握實(shí)數(shù)完備性的七個(gè)定理的等階性，并且知道每個(gè)定理的條件與結(jié)論。

（12）會(huì)用七個(gè)定理證明其它問題，如連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理等。

（13）掌握原函數(shù)與不定積分的概念。

（14）記住基本積分公式，熟練掌握換元法、分部積分法。

（15）知道有理函數(shù)的積分步驟，會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。

（16）掌握定積分定義和性質(zhì)，知道可積條件和可積類。

（17）深刻理解微積分基本定理，并會(huì)熟練應(yīng)用。

（18）熟練計(jì)算定積分，掌握廣義積分收斂定義及判別法，會(huì)計(jì)算廣義積分。

（19）熟練掌握平面圖形面積的計(jì)算，會(huì)求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。

（20）會(huì)利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

（21）會(huì)用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。

3、級(jí)數(shù)

（1）熟練掌握級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質(zhì)和判別法。

（2）熟練掌握條件收斂、絕對收斂及萊布尼茲定理。

（3）熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法，知道函數(shù)列的極限函數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。

（4）熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法，知道冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。

（5）熟練掌握函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開的方法，會(huì)用間接法求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。

（6）熟記付里葉系數(shù)公式，會(huì)求付里葉展式。掌握余弦級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)的求法。

（3）理解收斂性定理，掌握貝塞爾不等式、勒貝格引理等幾個(gè)重要定理。

4、多元微積分學(xué)

（1）了解平面點(diǎn)集的若干概念，掌握二元函數(shù)、二重極限的定義、性質(zhì)。

（2）熟練掌握二次極限、二重極限與二次極限的關(guān)系。

（3）熟練掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質(zhì)

（4）掌握全微分和偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

（5）熟練掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、可微、可導(dǎo)之間的關(guān)系。

（6）會(huì)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和全微分，會(huì)求空間曲面的切平面、法線。

（7）會(huì)求函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度，會(huì)求二元函數(shù)的泰勒展式、無條件極值、條件極值。

（8）熟練掌握一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分公式。

（9）掌握由m個(gè)方程n個(gè)變元組成方程組，確定n-m個(gè)隱函數(shù)組的條件，并會(huì)求這n-m個(gè)隱函數(shù)對各個(gè)變元的偏導(dǎo)數(shù)。

（10）會(huì)求空間曲線的切線與法平面，會(huì)求空間曲面的切平面與法線。

（11）知道二重積分、三重積分定義與性質(zhì)。

（12）熟練掌握二重積分的換序和變量代換。

（13）了解三重積分的換序，熟練運(yùn)用球、柱、廣義球坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分。

（14）掌握含參量正常積分的定義及性質(zhì)。

（15）知道重積分應(yīng)用，會(huì)求曲面面積，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，重心坐標(biāo)等。

（16）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質(zhì)和判別法。

（17）掌握用積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)、積分號(hào)下求積分方法計(jì)算一些定積分（廣義積分）。

（18）了解歐拉積分，遞推公式及性質(zhì)。

（19）熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計(jì)算。

（20）知道曲線積分，兩種曲面積分的關(guān)系。

（21）熟練掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，掌握積分與路徑無關(guān)的條件。

（22）了解場論初步知識(shí)，知道梯度，散度和旋度的慨念。

三、重點(diǎn)內(nèi)容：

1、求極限的方法與類型。

2、掌握實(shí)數(shù)完備性定理，如數(shù)列的單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界原理、有限覆蓋定理、魏爾斯特拉斯聚點(diǎn)原則。

3、海涅歸結(jié)原則、函數(shù)的一致連續(xù)性。

4、微分中值定理，微積分基本定理、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

5、積分法則、廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法、定積分的可積性及可積類的討論、含參量廣義積分的一致收斂判別法。

6、級(jí)數(shù)、函數(shù)列的各種收斂性判別法、冪級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)、冪級(jí)數(shù)展式。

7、多元函數(shù)極限和連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)。

8、多元函數(shù)的極值。

9、二重積分換序、重積分及其幾何意義。

10、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、積分與路徑無關(guān)性。

四、參考書目：

1、《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊），華東師大編，（任意版本），高等教育出版社。

考研數(shù)學(xué)大綱里的了解篇四

（三十四）數(shù)學(xué)分析試題（二年級(jí)第一學(xué)期）

一 敘述題（每小題10分，共30分）敘述第二類曲線積分的定義。2 敘述parseval等式的內(nèi)容。敘述以2?為周期且在[??,?]上可積函數(shù)f(x)的fourier系數(shù)﹑fourier級(jí)數(shù)及其收斂定理。

二 計(jì)算題（每小題10分，共50分）

1．求i?(x?y)ds，此處l為聯(lián)結(jié)三點(diǎn)o(0,0), a(1,0), b(1,1)的直線段。

l?2．計(jì)算二重積分

i???(x2?y2)dxdy。

?其中 ?是以y?x,y?x?a,y?a和y?3a(a?0)為邊的平行四邊形。

3．一頁長方形白紙，要求印刷面積占a cm2，并使所留葉邊空白為：上部與下部寬度之和為h cm，左部與右部之和為r cm，試確定該頁紙的長(y)和寬(x)，使得它的總面積為最小。

4．計(jì)算三重積分

i????vx2y2z2(2?2?2)dxdydz。abcx2y2z2其中v是橢球體2?2?2?1。

abce?ax?e?bx dx(b?a?0)的值。5．計(jì)算含參變量積分0x三 討論題（每小題10分，共20分）

????2u?2ux1 已 知u?arccos，試確定二階偏導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系。

?x?y?y?xy2 討論積分

數(shù)學(xué)分析試題（二年級(jí)第一學(xué)期）答案

一 敘述題（每小題10分，共30分）設(shè)l為定向的可求長連續(xù)曲線，起點(diǎn)為a，終點(diǎn)為b。在曲線上每一點(diǎn)取單位切向量??(cos?,cos?,cos?)，使它與l的定向相一致。設(shè) ????xcosxdx的斂散性。

xp?xqf(x,y,z)=p(x,y,z)i+q(x,y,z)j+r(x,y,z)k

是定義在l上的向量值函數(shù)，則稱

?f??ds??p(x,y,z)cos??q(x,y,z)cos??r(x,y,z)cos?ds

ll為f定義在l上的第二類曲線積分（如果右面的第一類曲線積分存在）。

2．函數(shù)f(x)在[??,?]可積且平方可積，則成立等式

2?a01?222 ??an?bn??f(x)dx。

2n?1?????3 若f(x)是以2?為周期且在[??,?]上可積的函數(shù)，則 an? bn?1?1??f(x)cosnxdx(n?0,1,2,???)

?????f(x)sinnxdx(n?1,2,???)

??稱為函數(shù)f(x)的fourier系數(shù)，以f(x)的fourier系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)

a0? ??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1稱為函數(shù)f(x)的fourier級(jí)數(shù)，記為

a0? f(x)~??(ancosnx?bnsinnx)。

2n?1收斂定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[??,?]上可積且絕對可積，且滿足下列兩個(gè)條件之一，則f(x)的fourier級(jí)數(shù)在x收斂于

f(x?)?f(x?)。

2（1）f(x)在某個(gè)區(qū)間[x??,x??](??0)上是分段單調(diào)函數(shù)或若干個(gè)分段單調(diào)函數(shù)之和。

（2）f(x)在x處滿足指數(shù)為??(0,1]的holder條件。二 計(jì)算題（每小題10分，共50分）

1。解 i?(x?y)ds?l???oa??ab??bo?(x?y)ds。

在直線段oa上y?0, ds?dx得

?oa(x?y)ds??xdx?011 2在直線段ab上x?1, ds?dy得

?ab(x?y)ds??(1?y)dy?013 2在直線段bo上y?x, ds?2dx得

10?bo(x?y)ds??2x2dx?2

所以 i?2?2。

2．解 22(x?y)dxdy??dy????a3ayy?a(x2?y2)dx?14a4.3．解 由題意，目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為s?xy與x?r, y?h,(x?r)(y?h)?a.作lagrange函數(shù)l?xy??[(x?r)(y?h)?a],則有

?lx?y??(y?h)?0, ??ly?x??(x?r)?0, ?l?(x?r)(y?h)?a?0.??由此解得

??r?hah???.x?, y?, ????1?1??1??r???于是有

x?并且易知它是極小值點(diǎn).4．解 由于 i?其中

ar?r, y?hah?h.r???vx2dxdydz?2a???vy2dxdydz?2b???vz2dxdydz，2c???vx2dxdydz?2a?x2dxdydz，?aa2da??這里d表示橢球面

y2z2x2?2?1?22bcay2?z2x22c(1?2)a

或

x22b(1?2)a?1。

它的面積為

x2x2x2 ?(b1?2)(c1?2)??bc(1?2)。

aaa于是 ???vx2dxdydz?a2?a?bc?ax24x(1?)dx??abc。

15a2a22同理可得

???vy24dxdydz??abc，215bz24dxdydz??abc。

15c2

???v所以 i?3(44?abc)??abc。155??e?ax?e?bxdx(b?a?0)的值。5．計(jì)算含參變量積分? 0xb??e?ax?e?bx??be?ax?e?bx?xy??edy，dx ??dx?e?xydy。解 因?yàn)樗? 注意到e?xya00axx在域：x?0, a?y?b上連續(xù)。又積分

???0e?xydx對a?y?b是一致收斂的。事實(shí)上，當(dāng)x?0, a?y?b時(shí)，0?e?xy?e?ax，但積分

???0e?axdx收斂。故積分

???0e?xydx是一致收斂的。于是，利用對參數(shù)的積分公式，即得 從而得

???0dxe?xydy?dy?ba??ab??0e?xydx。

???0e?ax?e?bx dx ?x??abdy??0e?xydx??badyb?ln。ya三 討論題（每小題10分，共20分）當(dāng)0?x?y時(shí)，u?arccosx?arccosy??xy。

?u???x11?xy?12xy12x(y?x)，?u???y??x??3x?1??2y2y1??x?，?2?2y(y?x)? 4 ?2u??x?y14x(y?x)32，?2u1???y?x4xy2(y?x)?2u?2u?于是，當(dāng)0?x?y時(shí)。?x?y?y?x當(dāng)0?x?y時(shí)，u?arccos2．首先注意到

x4y(y?x)32?14x(y?x)32，x?arccosyxy。

?x?(1?p)xp?(1?q)xq? ?p。?q?pq2x?x??x?x???xx???0若max(p,q)?1，則當(dāng)x充分大時(shí)?p，從而當(dāng)充分大時(shí)函數(shù)是遞x?qpqx?xx?x??減的，且這時(shí)

x???limx?0。

xp?xq??又因??acosxdx?sina?1（對任何a??），故??xcosxdx收斂。pqx?x?xx???0若max(p,q)?1，則恒有?p，故函數(shù)在x??上是遞增的。于是，?qpqx?xx?x???正整數(shù)n，有

?4?2n??2n?xcosxdx

xp?xq?42 ?2 ??2n??2n?xdx pqx?x??2?p? q42???2??常數(shù)?0，?pq8??? ?

故不滿足cauchy收斂準(zhǔn)則，因此

????xcosxdx發(fā)散。

xp?xq（三十五）數(shù)學(xué)系二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析》期末考試題

一（滿分 1 2 分，每小題 6 分）解答題：敘述以下概念的定義: 1 二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域d上一致連續(xù).2 二重積分.二．（滿分 1 6 分，每小題 8 分）驗(yàn)證或討論題：

x?y21 f(x,y)?.求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).極限limf(x,y)是否

x?0x?0y?0y?0x?0x?yy?0存在 ? 為什么 ? xy?22 , x?y?0 ,?222 f(x,y)??x?y 驗(yàn)證函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)處連續(xù) ,?22 0 , x?y?0.?偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微.三．（滿分 4 8 分，每小題 6 分）計(jì)算題：

?2z?2z1 設(shè)函數(shù)f(u,v)可微 , z?f(x , xy).求 2 和 2.?x?y2 f(x,y,z)?x?xy?yz, l為從點(diǎn)p0(2 , ?1 , 2)到點(diǎn)p , 1 , 2)的方向.1(?1求fl(p0).3 設(shè)計(jì)一個(gè)容積為4m的長方體形無蓋水箱 , 使用料最省.4

322??xydxdy, d: y?d11x , y?2x , xy?1 , xy?3.2x8?x25 求積分i?? 06 ??ed?y2dxdy，其中d是以點(diǎn)(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)為頂點(diǎn)的三角形域.7 計(jì)算積分(2x?sinl??y2)dx??x2cos?y2dy.其中l(wèi)為沿曲線y?ex?1從

點(diǎn)(0 , 0)到點(diǎn)(ln2 , 1)的路徑.8 v :x?y?2x , x?y?z?2(x?y).?為v的表面外側(cè).計(jì)算積分 3223(x?y?z)dydz?(x?y?cosz)dzdx?(x?y????22222232z)dxdy.2四．（滿分 2 4 分，每小題 8 分）證明題：

1 f(x,y)?y.證明極限limf(x,y)不存在.2x?0x?yy?02 設(shè)函數(shù)u(x,y)和v(x,y)可微.證明 grad(uv)?u gradv?v gradu.3 設(shè)函數(shù)f在有界閉區(qū)域d上連續(xù).試證明: 若在d內(nèi)任一子區(qū)域d??d上 都有

（三十六）二年級(jí) 《數(shù)學(xué)分析》考試題

一 計(jì)算題 : 1 求極限 ??f(x,y)dxdy?0, 則在d上f(x,y)?0.d?(x,y)?(0,0)limsin(x2?y2)1?x?y?122.1?222(x?2y)sin , x?y?0 ,?22x?y2 f(x,y)??

?0 , x2?y2?0.?求fx(0 , 0)和fy(0 , 0).3.設(shè)函數(shù)f(u,v)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) , z?f(xy , x2?y2).求

?z?z、?x?y?2z和.?x?y4 f(x,y,z)?x?y?z , 點(diǎn)p0(1 , 1 , 1), 方向l:(2 , ?2 , 1).求gradf(p0)和f沿l的方向?qū)?shù)fl(p0).5 曲線l由方程組

222?? 2x?3y?z?9 , ?2 22?? z?3x?y 23確定.求曲線l上點(diǎn)p0(1 , ?1 , 2)處的切線和法平面方程.6 求函數(shù)f(x,y)?xy在約束條件滿足極值充分條件)二.證明題 :

11??1之下的條件極值.(無須驗(yàn)證駐點(diǎn) xyx2y1 f(x,y)?4.試證明在點(diǎn)(0 , 0)處f(x,y)的兩個(gè)累次極限均存在 , 但 2x?y ?22 , x?y?0 ,?222 f(x,y)??x?y 證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)處連續(xù), ? x2?y2?0.? 0 , 偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但卻不可微.223 設(shè) z?lnx?y, 驗(yàn)證該函數(shù)滿足laplace方程

?2z?2z 2?2?0.?x?y4 設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)的某鄰域有定義 , 且滿足條件|f(x,y)| ? x2?y2.試證明 f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)可微.（三十七）數(shù)學(xué)系二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析》考試題

一（滿分 1 2 分，每小題 6 分）解答題：敘述以下概念的定義: 1 二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域d上一致連續(xù).2 二重積分.二．（滿分 1 6 分，每小題 8 分）驗(yàn)證或討論題：

x?y21 f(x,y)?.求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).極限limf(x,y)是否

x?0x?0y?0y?0x?0x?yy?0存在 ? 為什么 ?

xy? , x2?y2?0 ,?222 f(x,y)??x?y 驗(yàn)證函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)處連續(xù) ,? x2?y2?0.? 0 , 偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微.三．（滿分 4 8 分，每小題 6 分）計(jì)算題：

?2z?2z1 設(shè)函數(shù)f(u,v)可微 , z?f(x , xy).求 2 和 2.?x?y , 1 , 2)的方向.2 f(x,y,z)?x?xy?yz, l為從點(diǎn)p0(2 , ?1 , 2)到點(diǎn)p1(?1求fl(p0).3 設(shè)計(jì)一個(gè)容積為4m的長方體形無蓋水箱 , 使用料最省.4

322??xydxdy, d: y?d1x , y?2x , xy?1 , xy?3.28 x8?x25 求積分i?? 06 ?y??edxdy，其中d是以點(diǎn)(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)為頂點(diǎn)的三角形域.d217 計(jì)算積分(2x?sinl??y2)dx??x2cos?y2dy.其中l(wèi)為沿曲線y?ex?1從

點(diǎn)(0 , 0)到點(diǎn)(ln2 , 1)的路徑.8 v :x2?y2?2x , x2?y2?z?2(x2?y2).?為v的表面外側(cè).計(jì)算積分

3223(x?y?z)dydz?(x?y?cosz)dzdx?(x?y????32z)dxdy.2四．（滿分 2 4 分，每小題 8 分）證明題： 1 f(x,y)?y.證明極限limf(x,y)不存在.2x?0x?yy?02 設(shè)函數(shù)u(x,y)和v(x,y)可微.證明

grad(uv)?u gradv?v gradu.3 設(shè)函數(shù)f在有界閉區(qū)域d上連續(xù).試證明: 若在d內(nèi)任一子區(qū)域d??d上 都有

（三十八）二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析ⅱ》考試題

一 計(jì)算下列偏導(dǎo)數(shù)或全微分（共18分，每題6分）： ??f(x,y)dxdy?0, 則在d上f(x,y)?0.d?x?f?f?2f1 設(shè)f(x,y)?xy?，求，；

?x?yy?x?y2 設(shè)z?sin(xcosy)，求全微分dz；

?z3 求由方程x?2y?z?2xyz?0所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，?x?z。?y二 求函數(shù)分）z?xe2y在點(diǎn)p(1,1)處從p(1,1)到q(2,?1)方向的方向?qū)?shù)。（12 9 三（14分）設(shè)

1?,?xysin2f(x,y)??x?y2??0,1 求

x2?y2?0;x2?y2?(0,0)，fy(0,0)；

f(x,y)在點(diǎn)（0，0）處可微。2 證明：四 求曲面3x2?2y2?2z?1?0在點(diǎn)p(1,1,2)處的切平面和法線方程。（16分）

五 證明：半徑為r的圓的內(nèi)接三角形面積最大者為正三角形。（14分）

六（14分）計(jì)算下列重積分 ： 1、22xydxdyx??1,x?1,x?2y?x其中d為直線及曲線圍成的區(qū)??d域。

2、???xdxdydz其中?為由曲面z?x?2?y2，三個(gè)坐標(biāo)平面及平面x?y?1圍成的區(qū)域。

七（12分）求函數(shù)

f(x,y,z)?xy?z2 在約束條件

x?y?z?0及x2?y2?z2?1下的最大值和最小值。

（三十九）二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析ⅱ》考試題

一（15分）設(shè)x,y為歐氏空間中的任意兩個(gè)向量，證明“平行四邊形定理”：

||x?y||2?||x?y||2?2(||x||2?||y||2)

二 計(jì)算下列極限：（10分）(x,y)?(1,0)limlog(x?ey)x?y22 ；(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)x2y4；

二（10分）設(shè)隱函數(shù)

y(x)由方程

y(x?0)y?2xarctanx定義，求 y' 及 y''。三 計(jì)算下列偏導(dǎo)數(shù)：（10分）

xyzu?e（1）；

（2）z?arcsin(x1?x2?????xn)；

222

四 計(jì)算下列積分（20分）：（1）（2）i?[0,?];sin(x?y)dxdy,??i2 i?[0,2];(x?y)dxdy,??i?x?a(t?sint),（3）??ydxdy, d由旋輪線? 0?t?2? 與y?0圍成；

y?a(1?cost),?d2（4）???0e?xdx。2

五 計(jì)算下列曲線積分（10分）：

（1）(x2?y2)nds, ?:x?acost,y?asint,0?t?2?,其中n?n;??（2）(x?y)ds, ?:頂點(diǎn)為（0，0），（1，0），（0，1）的三角形邊界;

??六（10分）設(shè)?為單位球面x2?y2?z2?1，證明：

1??f(ax?by?cz)d??2??f(a2?b2?c2t)dt.?1七（15分）利用gaus公式計(jì)算曲面積分：

?xdydz?ydzdx?zdxdy，?2222?為球面x?y?z?a的外側(cè)。

（四十）二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析ⅱ》考試題

一（16分）： 設(shè)z?xexy?3z,求； 2?x?y2?????222 設(shè)向量場??xi?yj?zk，求 span?及rot?。?二（15分）： ???0exdx； x2(e?1)11 2 ???21dx。3x(lnx)三 求下列二元函數(shù)的極限（16分）： limx?0y?0sin[(y?1)x2?y2]x?y22；

xy22 lim2。2x?0x?yy?0四 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性（15分）： ?n?1?n； n22 ?(?1)nn?1?n；

n?13 cos2n。?nn?1?五 試求冪級(jí)數(shù)?n?1?(?1)n?1xn?1的收斂

n(n?1)半徑、收斂域以及和函數(shù)（14分）。六 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?(1?x)n?0?2xn在[0，1] 上一致收斂（14分）。七 設(shè)?an?1?n收斂，數(shù)列{nan}收斂，證明：

??n(an?2n?an?1)收斂（10分）。

（四十一）二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析ⅱ》考試題

一（10分）設(shè)x,y為歐氏空間中的任意兩個(gè)向量，證明“平行四邊形定理”：

||x?y||2?||x?y||2?2(||x||2?||y||2)

二 證明：歐氏空間的收斂點(diǎn)列必是有界的。（10分）三 證明：rn 中任意有界的點(diǎn)列中必有收斂的子點(diǎn)列。（10分）四 計(jì)算下列極限：（9分）

sin(xy)lim1(x,y)?(0,0)x2(x,y)?(0,0)；

x2y4lim(x?y)22；(x,y)?(1,0)limlog(x?ex)x2?y2；

五 計(jì)算下列偏導(dǎo)數(shù)：（10分）

（1）u（2）?ex(x2?y2?z2)；

z?log(x1?x2?????xn)；

六（10分）計(jì)算下列函數(shù) f 的jacobian jf：（1）（2）f(x,y,z)?x2ysin(yz)；

2221/2f(x1,x2,???,xn)?(x1?x2?????xn)；

七（10分）設(shè)隱函數(shù) 八（11分）在橢球 y(x)由方程 y?2xarctg(y/x),x?0 定義，求 y' 及 y''。

x2y2z2?2?2?12abc內(nèi)嵌入有最大體積的長方體，問長方體的尺寸如何？

九、（10分）求橢球面

x2y2z2?2?2?12abc過其上的點(diǎn)p?(x0,y0,z0)處的切平面的方程。

十、（10分）設(shè)函數(shù)f(x,y),g(x,y)是定義在平面開區(qū)域g內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，在g內(nèi)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且在g內(nèi)任意點(diǎn)處，均有

?f?g?f?g????x?y?y?x又設(shè)有界閉d?0?g，試證：在 d 中滿足方程組 ??f(x,y)?0

g(x,y)?0?的點(diǎn)至多有有限個(gè)。

（四十二）二年級(jí)《數(shù)學(xué)分析ⅱ》考試題

一（10分）設(shè)x,y為歐氏空間中的任意兩個(gè)向量，θ是這兩個(gè)向量之間是夾角，證明“余弦定理”：

||x?y||2?||x||2?||y||2?2||x||?||y||cos?).二 計(jì)算下列偏導(dǎo)數(shù)：（10分）

xyzu?e（1）；

（2）z?arcsin(x1?x2?????xn)；

ax?by?cz?0

222三（10分）求用平面

x2y2與圓柱相交所成橢圓的面積。2?2?1

ab四 計(jì)算下列積分（16分）：

（1）（2）（3）??sin(x?y)dxdy, i?[0,?];

i2 i?[0,2];(x?y)dxdy,??2i2y??dxdy, d由旋輪線 d?x?a(t?sint), 0?t?2? 與y?0圍成； ??y?a(1?cost),（4）????0e?xdx。2五 計(jì)算下列曲線積分（14分）：

（1）(x2?y2)nds, ?:x?acost,y?asint,0?t?2?,其中n?n;??（2）(x?y)ds, ?:頂點(diǎn)為（0，0），（1，0），（0，1）的三角形邊界;六（10分）設(shè)常數(shù)a,b,c滿足ac?b?0, 計(jì)算積分：

2?xdy?ydx, 22?ax?2bxy?cy? 其中?為反時(shí)針方向的單位圓周。七（10分）設(shè)?為單位球面x2?y2?z2?1，證明：

1?f(ax?by?cz)d??2????1f(a2?b2?c2t)dt.八（10分）利用gaus公式計(jì)算曲面積分：

?xdydz?ydzdx?zdxdy，? ?為球面x2?y2?z2?a2的外側(cè)。

??九（10分）設(shè)曲面?有法向量n,a是一個(gè)常向量，求證：

???????a?p?dp?2a????nd?.? 15

考研數(shù)學(xué)大綱里的了解篇五

625數(shù)學(xué)分析考試大綱

一、考試目的《數(shù)學(xué)分析》作為全日制碩士研究生入學(xué)考試的專業(yè)基礎(chǔ)課考試，其目的是考察考生是否具備進(jìn)行本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試應(yīng)試者綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識(shí)的尺度參照性水平考試?？荚嚪秶〝?shù)學(xué)分析的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決數(shù)學(xué)分析問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念、命題、定理；

2．綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識(shí)的能力

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內(nèi)容（或知識(shí)點(diǎn)）

一、數(shù)列極限

數(shù)列、數(shù)列極限的 定義，收斂數(shù)列——唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理?？挛鳒?zhǔn)則，重要極限。

二、函數(shù)極限

函數(shù)極限。定義，定義，單側(cè)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)——唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算、歸結(jié)原則（heine 定理）。函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。

無窮小量及其階的比較，無窮大量及其階的比較，漸近線。

三、函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性、單側(cè)連續(xù)性、間斷點(diǎn)及其分類。在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)——有界性、保號(hào)性。連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。

四、導(dǎo)數(shù)和微分

導(dǎo)數(shù)定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、費(fèi)馬(fermat)定理。和、積、商的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、微分概念、微分的幾何意義、微分的運(yùn)算法則。

五、微分中值定理

roll、lagrange、cauchy中值定理，不定式極限，洛比達(dá)（l’hospital）法則，泰勒（taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項(xiàng)、拉格朗日余項(xiàng)、積分型余項(xiàng)）。極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點(diǎn)，函數(shù)圖的討論。

六、實(shí)數(shù)的完備性

區(qū)間套定理，數(shù)列的柯西（cauchy）收斂準(zhǔn)則，聚點(diǎn)原理，有界數(shù)列存在收斂子列，有限覆蓋定理。

七、不定積分

原函數(shù)與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分法，幾種無理根式的積分。

八、定積分

牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類。絕對可積性，積分中值定理，微積分學(xué)基本定理。換元積分法，分部積分法。

九、定積分的應(yīng)用

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分。微元法、旋轉(zhuǎn)體體積與側(cè)面積，物理應(yīng)用（引力、功等）。

十、反常積分

無窮限反常積分概念、柯西準(zhǔn)則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（dirichlet）判別法，阿貝爾（abel）判別法。無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分收斂性判別法。

十一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)收斂與和，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，萊布尼茨判別法，狄利克雷（dirichlet）判別法，阿貝爾（abel）判別法。絕對收斂級(jí)數(shù)的重排定理。

十二、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯（weierstrass）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷（dirichlet）判別法，阿貝爾（abel）判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)。

十三、冪級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性、連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)，冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算。

泰勒級(jí)數(shù)、泰勒展開的條件，初等函數(shù)的泰勒展開。

十四、傅里葉（fourier）級(jí)數(shù)

三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、傅里葉（fourier）級(jí)數(shù)，貝塞爾（bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。

十五、多元函數(shù)的極限和連續(xù)

平面點(diǎn)集概念（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、開域、閉域），平面點(diǎn)集的基本定理——區(qū)域套定理、聚點(diǎn)原理、有限覆蓋定理。

二元函數(shù)概念。二重極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十六、多元函數(shù)的微分學(xué)

偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無關(guān)性，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值。

十七、隱函數(shù)定理

隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)。

隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式。幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

十八、含參量積分

含參量積分概念、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。

含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準(zhǔn)則。維爾斯特拉斯

（weierstrass）判別法。連續(xù)性、可積性與可微性，gamma函數(shù)。

十九、曲線積分

第一型和第二型曲線積分概念與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。

二十、重積分

二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計(jì)算（化為累次積分）。格林（green）公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換）。三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換）。重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。

無界區(qū)域上的收斂性概念。無界函數(shù)反常二重積分。

在一般條件下重積分變量變換公式。

二十一、曲面積分

曲面的側(cè)。第一型和第二型曲面積分概念與計(jì)算，高斯公式。斯托克斯公式。場論初步（梯度場、散度場、旋度場）。

六、考試題型

計(jì)算題、證明題。

七、參考書目：本科通用教材