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數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇一

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理學(xué)中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.

向量可以用一條有向線段(帶有方向的線段)來(lái)表示，用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母a，b，c表示，或用兩個(gè)大寫(xiě)字母加表示(其中前面的字母為起點(diǎn)，后面的字母為終點(diǎn))

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共線向量.

若向量a、b平行，記作a∥b.

規(guī)定：0與任一向量平行.

(6)相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有兩個(gè)要素：一是長(zhǎng)度相等，二是方向相同，二者缺一不可.

②向量a，b相等記作a=b.

③零向量都相等.

④任何兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一有向線段表示，但特別要注意向量相等與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(1)向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但向量的?？梢员容^大小.

(2)向量共線與表示它們的有向線段共線不同.向量共線時(shí)，表示向量的有向線段可以是平行的，不一定在同一條直線上;而有向線段共線則是指線段必須在同一條直線上.

(3)由向量相等的定義可知，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動(dòng)的，因此用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，由此也可得到：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上.

(1)交換律：α+β=β+α

(2)結(jié)合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)

(3)數(shù)量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα

(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇二

平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a||b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規(guī)定0a=0.

(1)ab=ba

(2)(a)b=(ab)=a(b)

(3)(a+b)c=ac+bc

[探究] 根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷下列結(jié)論是否成立.

(1)ab=ac，則b=c嗎?

(2)(ab)c=a(bc)嗎?

提示：(1)不一定，a=0時(shí)不成立，

另外a0時(shí)，ab=ac.由數(shù)量積概念可知b與c不能確定;

(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當(dāng)a與c不共線時(shí)它們必不相等.

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇三

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)的有向線段記作或ab；

向量的模：有向線段ab的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|ab|；

零向量：長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作或0。（注意粗體格式，實(shí)數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的，書(shū)寫(xiě)時(shí)要在實(shí)數(shù)“0”上加箭頭，以免混淆）；

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

平行向量（共線向量）：兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；

單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行于坐標(biāo)軸的單位向量習(xí)慣上分別用i、j表示。

相反向量：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）則a b=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規(guī)律：+ = +（交換律）；+（+c）=（+）+c（結(jié)合律）；

實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的'積是一個(gè)向量。

（1）| |=| |·| |；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)a<0時(shí)，與a的方向相反；當(dāng)a=0時(shí)，a=0。

兩個(gè)向量共線的充要條件：

（1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b= 。

（2）若=（），b=（）則‖b 。

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得= e1+ e2。

三角形abc內(nèi)一點(diǎn)o，oa·ob=ob·oc=oc·oa，則點(diǎn)o是三角形的垂心。

若o是三角形abc的外心，點(diǎn)m滿(mǎn)足oa+ob+oc=om，則m是三角形abc的垂心。

若o和三角形abc共面，且滿(mǎn)足oa+ob+oc=0，則o是三角形abc的重心。

三點(diǎn)共線：三點(diǎn)a，b，c共線推出oa=μob+aoc（μ+a=1）

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇四

1．有向線段的定義

線段的端點(diǎn)a為始點(diǎn)，端點(diǎn)b為終點(diǎn)，這時(shí)線段ab具有射線ab的方向.像這樣，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.

2.有向線段的三要素：有向線段包含三個(gè)要素：始點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度.

3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個(gè)要素：大小和方向.

(2)向量的表示方法：①用兩個(gè)大寫(xiě)的英文字母及前頭表示，有向線段來(lái)表示向量時(shí)，也稱(chēng)其為向量.書(shū)寫(xiě)時(shí)，則用帶箭頭的小寫(xiě)字母，，，來(lái)表示.

4.向量的長(zhǎng)度（模）：如果向量=，那么有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，叫做向量的長(zhǎng)度(或模)，記作||.

5．相等向量：如果兩個(gè)向量和的方向相同且長(zhǎng)度相等，則稱(chēng)和相等，記作：=.

6．相反向量：與向量等長(zhǎng)且方向相反的向量叫做的相反向量，記作：-.

7．向量平行（共線）：如果兩個(gè)向量方向相同或相反，則稱(chēng)這兩個(gè)向量平行，向量平行也稱(chēng)向量共線.向量平行于向量，記作//.規(guī)定： //.

8．零向量：長(zhǎng)度等于零的向量叫做零向量，記作：.零向量的方向是不確定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答問(wèn)題時(shí)，一定要看清題目中是零向量還是非零向量.

9．單位向量：長(zhǎng)度等于1的向量叫做單位向量.

10．向量的加法運(yùn)算：

(1)向量加法的三角形法則

1１．向量的減法運(yùn)算

12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關(guān)系

對(duì)于任意兩個(gè)向量，，都有|||-|||||+||.

13．?dāng)?shù)乘向量的定義：

實(shí)數(shù)和向量的乘積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做數(shù)乘向量，記作.

向量的長(zhǎng)度與方向規(guī)定為：(1)||=|

(2)當(dāng)0時(shí)，與方向相同;當(dāng)0時(shí)，與方向相反.

(3)當(dāng)=0時(shí)，當(dāng)=時(shí)，=.

14．?dāng)?shù)乘向量的運(yùn)算律：(1))= (結(jié)合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15．平行向量基本定理

如果向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得=.

如果與不共線，若m=n，則m=n=0.

16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作.

=||，即==(，)

17．線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式

點(diǎn)m是線段ab的中點(diǎn)，o是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則=(+).

18．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，則

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19．利用兩點(diǎn)表示向量：如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).

20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，則

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特別地，如果b10，b20，則// =.

21．向量的長(zhǎng)度公式：若=(a1，a2)，則||=.

22．平面上兩點(diǎn)間的距離公式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則||=.

23．中點(diǎn)公式

若點(diǎn)a(x1，y1)，點(diǎn)b(x2，y2)，點(diǎn)m(x，y)是線段ab的中點(diǎn)，則x=，y= .

24．重心公式

在△abc中，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(x3，y3)，，△abc的重心為g(x，y)，則

x=，y=

2５．（1)兩個(gè)向量夾角的取值范圍是[0，p]，即0，p.

當(dāng)=0時(shí)，與同向;當(dāng)=p時(shí)，與反向

當(dāng)= 時(shí)，與垂直，記作.

(3)向量的內(nèi)積定義：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數(shù)量.規(guī)定=0.

(4)內(nèi)積的幾何意義

與的內(nèi)積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數(shù)量，或的模與在 方向上的正射影數(shù)量的乘積

當(dāng)0，90時(shí)，0;=90時(shí)，

90時(shí)，0.

26．向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算律：

(1)交換率

(2)數(shù)乘結(jié)合律

(3)分配律

(4)不滿(mǎn)足組合律

27．向量?jī)?nèi)積滿(mǎn)足乘法公式

29．向量?jī)?nèi)積的應(yīng)用：

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇五

戴氏航天學(xué)校老師總結(jié)加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

戴氏航天學(xué)校老師總結(jié)向量加法有如下規(guī)律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);

兩個(gè)向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b= .

(2) 若=(),b=()則‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，戴氏航天學(xué)校老師提醒有且只 有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得= e1+ e2

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇六

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱(chēng)作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-?a??b?。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx+yy。

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

1、向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇七

1.理解平面向量的概念與幾何表示、兩個(gè)向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運(yùn)算及其意義;理解兩個(gè)向量共線的含義,了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

2.了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算;理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

3.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

高考對(duì)平面向量的考點(diǎn)分為以下兩類(lèi):

(1)考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算,向量概念所含內(nèi)容較多,如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，高考中或直接考查或用以解決有關(guān)長(zhǎng)度，垂直，夾角，判斷多邊形的形狀等，此類(lèi)題一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度不大.

(2)考查平面向量的綜合應(yīng)用.平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境新穎別致，自然流暢，此類(lèi)題一般以解答題形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng).

1.向量的加法與減法:掌握平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則，加法的運(yùn)算律;

2.實(shí)數(shù)與向量的乘積及是一個(gè)向量，熟練其含義;

3.兩個(gè)向量共線的條件:平面向量基本定理、向量共線的坐標(biāo)表示;

4.兩個(gè)向量夾角的范圍是:[0,π]

5.向量的數(shù)量積:熟練定義、性質(zhì)及運(yùn)算律，向量的模，兩個(gè)向量垂直的充要條件.

數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)梳理篇八

【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對(duì)向量概念的理解，向量是可以自由移動(dòng)的，平移后所得向量與原向量相同;兩個(gè)向量無(wú)法比較大小，它們的?？杀容^大小。

考點(diǎn)二：向量的運(yùn)算

【內(nèi)容解讀】向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算;掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系;掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。

考點(diǎn)三：定比分點(diǎn)

【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，可借助圖形來(lái)幫助理解。

【命題規(guī)律】重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。

【命題規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問(wèn)題，屬中檔偏易題。

考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯

【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問(wèn)題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題為主，要注意自變量的取值范圍。

【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

【內(nèi)容解讀】向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，許多平面幾何問(wèn)題中較難解決的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。